2．2．2 尺度分析与基本方程组的简化
上述控制方程组比较复杂，在运用时需要进行简化。Charney(1948)所倡导的尺度分析法是一种对物理方程进行分析和简化的有效方法，这种方法在大气动力学和数值预报研究中得到广泛应用。
1．尺度概念和大气运动的尺度分类
尺度分析法是依据表征某类运动系统各场变量的特征值，来估计大气运动方程中各项量级大小的一种方法。根据尺度分析的结果，结合物理上的考虑，略去方程中量级较小的项，可简化方程。在天气图上，我们常看到许多天气系统，如超长波、长波、气旋、反气旋、热低压和台风等，这些天气系统不仅水平范围不同，其厚度也各不相同，如热低压很浅，只有1～2km，而深厚的气旋可以到达对流层顶。为便于研究，对某种类型的系统而言，我们可以引入表征运动的特征量：L(特征水平尺度)，H(特征垂直尺度)，V(特征水平速度)，W(特征垂直速度)。此外，由于气压(特征尺度为P)、密度(特征尺度为π)、温度(特征尺度为T)和位温(特征尺度为Θ)等热力学场变量达不到本身的量级，故对大气运动进行尺度分析时，要引进热力学场变量的水平变动尺度。尺度分析中常用符号ΔhP、Δhπ、ΔhT、ΔhΘ分别表示气压、密度、温度和位温的水平变动尺度，常用符号ΔzP、Δzπ、ΔzT、ΔzΘ分别表示气压、密度、温度和位温的垂直变动尺度。时间尺度是指运动系统经历一个阶段所需要的特征时间。时间尺度(τ)可视为系统移动或扰动传播特征(以C表示其特征速度)水平距离所需要的时间，即有τ=L/C。对于运动速度和传播速度不太快的系统，一般取C≈U，于是τ=L/U，这种情况下时间尺度不是一个独立的尺度，称之为平流时间尺度。
大气运动的特征与水平尺度有密切关系，在大多数情况下，运动的水平尺度一经确定，运动的其他主要特征量也就随之而定，表2.1列出了中纬度地区大尺度系统各种基本尺度的数量级，均取SI(m·kg·s)制的单位。
2．大尺度运动方程组的简化
令
(u，v)=V(u'，v')，w=Ww'
ρ=π'，f=f0f'，Δhp=ΔhPΔhp'
(x，y)=L(x'，y')，z=Dz'，t=τt'
式中带有撇号的量均为无因次量，其大小为0(1)。将该式代入(2.1)～
据表2.1可以得到运动方程中各项的数量级，即
上式中已略去了撇号。其中，f0代表f的尺度，在中纬度地区，f0的数量级为10-4s-1。上面没有给出摩擦力的数量级。据计算，从地面到1～2km高度的摩擦层内，Fx和Fy数量级较大，在摩擦层以上的自由大气中，其数量级较小：而Fz的数量级，不论在摩擦层还是在自由大气中都很小。这样，在讨论两个水平分量运动方程的简化时，可先针对自由大气简化，不考虑摩擦力项，然后在此简化的结果上再加上摩擦力项，就适应于摩擦层了。
对于上述方程若只保留其中最大数量级的项，略去所有的小项，则得到运动方程的零级简化，即
(2.10)
(2.11)
(2.12)
若除去最大项以外，还保留比最大项小一个量级的项，而略去小两个量级的项，则得到运动方程的一级简化，即
(2.13)
(2.14)
(2.15)
由以上对运动方程尺度分析的结果，得知大气运动具有以下重要性质：
(1)大气在垂直方向上已十分精确地满足(2.12)式所表示的准静力平衡关系，只有在运动的水平尺度非常小和运动非常强烈的情况下，这种关系才不成立。例如，L＜102m，U＞50m/s，这时惯性力就具有和垂直气压梯度力或重力相同的数量级。
(2)大尺度运动的时间偏导数项比方程中的主要项小一个量级以上，这反映大气运动一般都是处于准定常的状态，速度场的演变是比较缓慢的。略去了时间偏导数项的运动方程则无法进行预报，故作为预报方程不能采用零级简化形式，而必须采用包含有时间偏导数项在内的简化形式。
(3)运动方程的零级简化不出现含有w的项，这表明大尺度运动一般可视为准水平的。但由于大尺度运动中垂直运动对天气形成的重要作用，常需要将方程中的对流项保留下来。
(4)大尺度运动还表现为一种平衡运动，由(2.10)和(2.11)式所表示。它表示水平气压梯度力和科氏力平衡，称地转平衡关系，满足这种关系的运动称为地转风。
平流作用来表征。再将两边除以f0u，即得到
(2.16)
(2.17)
其中
(2.18)
(2.19)
当Ekman数很小的时，即表示粘性力是很小的，湍流摩擦作用是可以略去不计，称为自由大气。在自由大气中，如果Rossby数远小于1，不难发现，(2.16)和(2.17)式可简化为(2.10)和(2.11)式，则地转风关系成立。这就是说，可以用R0的大小来决定地转风近似程度。
在接近地球表面的大气层中，由于地面摩擦作用，粘性和湍流不可略，称此层为大气边界层或行星边界层，如R0仍小于1，则有
(2.20)
(2.21)
解出u、v，这时的风速将随高度变化，风速矢端迹成一螺线型，称此气流为Ekman流，这是边界层中气流的主要特征。
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