原始采样点可以是规则的，也可以是不规则的。由于客观条件的限制，往往不能取得足够的采样点来满足显示的要求，需要进行内插以生成更多的点。插值的方法有很多种，其中最主要的有反距离权插值（IDW）、双线性插值、趋势面插值、样条插值及克里金（Kriging）插值，现对它们一一介绍。

    1）反距离权插值（IDW）

    IDW方法是利用“距离越远对待插点影响越小”的思想，以距离倒数次方为权进行的插值，其公式如下：

    式中di是待插点到已知点的距离，f（x，y）为要求的待插点的值。

    2）双线性插值

    a．不规则采样点的插值

    先将不规则采样点集连接成TIN，然后再求落在各个三角形内的网格点高程值（包含落在三角形边上的点）。如图4．27所示，待求点落在三角形ABC内，先用线性插值的方法，求D，E两点的值。设A，B，C，D，E，P处的值分别为VA，VB，VC，VD，VE，其中VA，VB，VC为已知，在DEM中实质上为高程值，则D、E两点处的插值为

    则P点的插值为：

    b．规则采样点的双线性插值

    方法与a完全相同，也是先用A、B两点求出E点值，用C、D两点求出F点值，再由E和F点求出P点的值（图4．28）。

    值得指出的是，线性插值和双线性插值都是假定特插点的高程在直线上呈比例变化。另外，不管是不规则采样点还是规则采样点，都可用双线性方式内插函数来求出。此时常取最靠近P点的四个点来插值。

ZP=（a·x+b）（c·x+d）

    式中，a，b，c，d为待定系数，ZP为要求的待插点的值。

    3）趋势面插值（Trend Surface Interpolation）

    趋势面插值是利用一个通过各空间采样点的空间曲面来模拟地形表面，常取二次多项式来拟合

Zp=a·x2+b·xy+c·y2+d·x+e·y+f

    式中a，b，c，d，e，f为待定系数，一般用最近6个点来计算多项式的系数，若取用的点数多于6个则要采用测量平差的方法来拟合。

    4）样条插值（spline）

    “样条”的原意是绘图时用的弹性曲尺，在传统手工过程中，常用它绘制一条光滑曲线。样条插值又分为二种，一种是距离函数样条法，一种称为分片Hermit样条法。这里只介绍距离函数的采样方法

    式中P为待求点，Pi为已知高程值点，其对应的值为Fi（i=1，2，…，n），各系数ci（i=1， 2，…， n）， a， b， c由下式确定：

    t为一常数。

    5）克吕格（Kriging）插值

    Kriging插值的思想与上述方法都不同，它首先考虑的是空间属性在空间位置上的变异分布，确定对一个待插点值有影响的距离范围，然后用此范围内的采样点来估计待插点属性值。它是一种求最优线性无偏内插估计量的方法，它是在考虑了信息样品的形状、大小及其与待估块段相互间的空间分布位置等几何特征以及品位的空间结构之后，为了达到线性、无偏和最小估计方差的估计，而对每一样品值分别赋与一定的系数，最后进行加权平均来估计块段品位的方法。从这个意义上说，我们认为，只有克里金方法才是一种真正的插值方法。其计算步骤如下：

    （1）输入原始数据（采样点）。

    （2）数据检验与分析，不同的应用领域有不同的检查方法，原则是看采样值是否合乎实际情况，删去明显相差点。

    （3）直方图的计算。直方图有助于人们掌握区域化变量的分布规律，以便决定是否对原始数据进行预处理。

    （4）计算变异函数了解变量的空间结构。常用的理论模型有：

    y（h）为称为半变异函数， h为两样本间的距离，C称为基台值， C0称为纯块金效应，a为变程（即影响距离的范围）。计算此模型时，先作出以两个任意采样点对之间的距离为横轴，以它们的样本值差的平方为纵轴的散点图，然后用最小二乘加权拟合的方法求出拟合变异函数。

    （5）克里金插值估计。在内蕴假设下有：

    当然，在各种插值方法的具体实现过程中，参数的选择或调整要随地形的不同而变化。每一种插值方法都有自己特别适合的地形，目前还没有找到一种在任何情况下运用效果都非常好的方法，实际上这也是不可能的。经研究测试认为，数值等高线内插所产生的DEM，其品质随内插法、等高线的质量、地形特性（如坡度大小）等因素的变化而有所不同。由Spline（样要）和trend（趋势面）方法产生的DEM几乎无法真实地反映地形起伏的特性；IDW方法的结果显示误差分布和地形坡度大小没有特别显著的关系，在地性线地区无法显示出这些转折的地形；相对来说克里金插值则能较好地反映这些地形变化，但克里金方法的计算量很大，因此在对大面积区域大数据量内插时，这是一个不能不考虑因素。

    一般说来，内插结果应该尽量满足如下三项要求：

    （1）保凸（形）性要求 以曲线为例描述，如果模拟曲线与实际曲线有相等数目的拐点，而且对应拐点的位置接近，则认为模拟曲线的保凸性良好。反之，若两者拐点数目不相等，或虽然相等但对应位置相差太远，则认为保凸性差。

    （2）逼真性要求 因为拟合面不可能完全符合实际曲面，逼真只能是在一定的容许误差内的“逼真”，设容许误差为如果拟合面F拟（x，y）与实际曲面f（x，y）之间满足如下条件则认为拟合面达到逼真性要求：

Max|F拟（x，y）-f（x，y）|≤h容

    （3）光滑性要求 对曲线来说，光滑性是指曲线上曲率的连续性，函数二次可导是曲率连续的先决条件。
　　本文标题：数字地面模型的实现－数字地面模型(2)
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